Un nouveau modèle économétrique pour la mesure des flux et des stocks de capital fixe

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Les modèles classiques de la dépréciation physique ne mesurent que le côté «quantités» des flux et des stocks de capital fixe (FSCF). Une autre faiblesse de ces modèles est que l’on dégage toutes les quantités par une déflation des divers éléments des FSCF à l’aide d’un seul déflateur, celui de la formation brute de capital fixe¹. Ces modèles y vont aussi d’hypothèses arbitraires en matière de dépréciation physique et économique. Comme le côté «prix» des FSCF ne se trouve pas mesuré par les modèles ordinaires, il est fort difficile de bien y intégrer la variable de la dépréciation économique. Cette intégration est probablement erronée dans tous les cas. Dans le présent exposé, nous décrivons à grands traits un nouveau modèle économétrique de mesure des FSCF et indiquons comment la dépréciation économique et physique est estimée empiriquement. Nous donnons aussi une bonne idée de l’application de cette double dépréciation à la mesure des côtés «quantités» et «prix» des FSCF².

Les méthodes classiques de mesure de la dépréciation économique estiment par une seule équation les paramètres d’une fonction. Cela ne peut suffire, car rien ne garantit que la fonction de dépréciation qui s’ajuste le mieux décrit aussi le meilleur comportement des taux d’inflation et de dépréciation économique. Nous présenterons ici un nouveau modèle à équations simultanées de transformation de puissance Box-Cox en vue de l’estimation de la forme et des taux d’inflation et de dépréciation économique par catégorie de biens. Une telle estimation globale au niveau des branches d’activité prend la forme d’une moyenne pondérée des valeurs des catégories de biens propres aux diverses branches d’activité. La nouvelle méthode met une contrainte au comportement de la fonction de dépréciation si bien que sa fonction du taux de dépréciation économique et sa fonction du taux d’inflation sont toutes les deux en ajustement optimal.

Il est ardu de mesurer la dépréciation physique, comme en témoigne le peu d’études économiques consacrées à la question. Cette dépréciation se présente sous un jour différent pour celui qui la considère d’un point de vue technique ou d’un point de vue économique. On peut avoir à retirer une immobilisation tôt dans sa durée utile en raison de l’évolution technologique. La formule de conversion décrite dans cet exposé permet de transformer la dépréciation économique en dépréciation physique, d’où une mesure cohérente de la seconde par rapport à la première. Enfin, on se sert des valeurs obtenues de dépréciation économique et physique pour dégager les FSCF. Nous ébauchons une idée claire de la chose pour montrer comment ces deux types de dépréciation s’appliquent à la mesure des côtés «quantités» et «prix» des FSCF³.

(On trouvera une description plus fine de la notion de dépréciation à l’annexe I et un schéma de comparaison de la méthode classique et de la nouvelle méthode à l’annexe II.)

Dans ce document, nous élaborons un nouveau modèle économétrique de mesure des FSCF (quantités et prix). Du côté «quantités», nous suivons la méthode classique de l’inventaire permanent pour dériver les FSCF selon les études de Goldsmith (1952), Tice (1967), Young et Musgrave (1980) et Biorn, Holmoy et Olsen (1989). Du côté des prix, nous calculons le déflateur des provisions pour consommation de capital (PCC) comme moyenne pondérée des déflateurs en dépréciation économique des séries chronologiques en dépréciation physique de la formation brute de capital fixe (FBCF), qui entrent dans la mesure des PCC du côté des quantités. Le poids se calcule comme le ratio de la fraction des valeurs des séries chronologiques en dépréciation physique (FBCF) entrant dans la mesure des PCC du côté des quantités. De même, nous calculerons le déflateur du stock net de capital fixe (SNCF) comme la moyenne pondérée des déflateurs en dépréciation économique des séries FBCF en dépréciation physique qui entrent dans la mesure du SNCF du côté des quantités. Le poids se calcule comme le ratio de la fraction des séries FBCF en dépréciation physique entrant dans la mesure du SNCF du côté des quantités. (On se reportera au schéma de comparaison de la méthode classique et de la méthode employée dans ce document.)

Notre exposé se divise en quatre parties. À la section 1, nous traitons brièvement du modèle Box-Cox à équations simultanées de transformation de puissance pour l’estimation des paramètres de la fonction prix de dépréciation économique. L’estimation se fait par catégorie de biens, et on calcule la forme et les taux de dépréciation à l’aide d’équations spécifiques. On établit la forme au niveau d’une composante industrielle par les moyennes pondérées des formes des catégories de biens appartenant à cette composante. Au niveau d’une industrie, on calcule les taux par des équations spécifiques. À la section 2, nous dérivons une formule de conversion permettant de transformer la dépréciation économique en dépréciation physique. Cette formule sert à convertir la forme invariante dans le temps de la dépréciation économique en la forme correspondante de dépréciation physique. Nous étudions également ici une forme paramétrique Box-Cox de dépréciation physique. Nous avons choisi la forme de transformation de puissance de Box-Cox, car c’est une des plus souples pour l’étude de la dépréciation. À la section 3, nous exposons un nouveau modèle d’inventaire permanent qui indique nettement comment on applique les valeurs de dépréciation physique et économique au calcul des côtés «quantités» et «prix» des FSCF. Enfin, nous présentons quelques observations en conclusion à la section 4.

Dans le cadre de l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et en réparations, nous recueillons des données sur les prix de vente, le coût cumulé à la valeur comptable brute et l’âge de 100 catégories de biens, neufs ou non. Pour chaque type de biens d’âge s et de date t appartenant à deux grands secteurs (fabrication et non-fabrication), on peut calculer un prix relatif moyen q(s,t), où SP(s,t)_i est le prix de vente du nième bien

déclaré d'âge s et de date t: AC(s,t,)_i est le coût cumulé en valeur d'origine du nième bien déclaré d'âge s et de date _t; PX(s,t) est l'indice de prix correspondant au groupe de biens d'âge s et de date t qui est uniquement déterminé par s et t; k est le nombre total de biens déclarés dans ce groupe.

Le numérateur de l'équation 1 est une valeur agrégée en dollars courants pour un type de biens au moment de la vente. Le dénominateur est une valeur agrégée en dollars constants du coût d'origine du même type de biens. Le prix relatif q(s,t) est un déflateur des biens non neufs l'année de leur vente. C'est ce que nous appellerons le «prix de vente» dans la suite de cet exposé. Pour chaque âge s et date t dans une catégorie de biens, il n'y a qu'un prix de vente q(s,t), soit la moyenne pondérée de tous les prix de vente des biens non neufs déclarés comme appartenant à cette catégorie. Un établissement plus important déclarant des chiffres plus élevés aura automatiquement une part accrue du prix de vente q(s,t). L'ensemble des prix de vente q(s,t) pour tous les s et t disponibles forme la matrice de prix âge-date de ces types de biens.

Le modèle de transformation de puissance Box-Cox a de nombreuses applications dans les études économiques. Il convient particulièrement à l'étude de la dépréciation économique comme l'ont indiqué Hulten et Wykoff (1981), puisque la plupart des modèles de dépréciation étudiés par les économistes (modèles géométrique, linéaire, etc.) constituent autant de cas d'espèce paramétriques du modèle de transformation de puissance Box-Cox. Avec les méthodes classiques on estime habituellement le régime de dépréciation économique à l'aide d'un modèle à équation unique comme l'ont démontré Ackerman (1973) et Hulten et Wykoff (1981). Toutefois, les résultats de test empiriques indiquent que la fonction prix la mieux ajustée ne dégage pas nécessairement des taux raisonnables d'inflation et de dépréciation économique. En d'autres termes, on ne peut estimer individuellement la forme et les taux d'inflation et de dépréciation économique. Il faut le faire simultanément. C'est pourquoi nous présentons une nouvelle méthode dans cet exposé⁴. Nous estimons les paramètres d'une fonction prix par des équations simultanées non linéaires. À la fonction prix, nous ajoutons une fonction de taux de dépréciation économique et une fonction de taux d'inflation afin de mettre une contrainte au comportement de la fonction prix. Autrement dit, nous estimons les paramètres de cette dernière fonction pour qu'elle ait une somme minimale d'erreurs résiduelles quadratiques, et ce, avec pour contrainte que les deux fonctions de taux d'inflation et de taux de dépréciation économique en aient aussi une. Nous ne recueillons malheureusement pas de données sur ces taux dans l'Enquête sur les dépenses en immobilisations et en réparations, aussi nous faut-il recourir à des approximations. Nous créons deux séries de substitution pour le taux de dépréciation économique et le taux d'inflation. À l'aide de la matrice de prix âge-date, nous pouvons estimer les taux, quand les deux points de données les plus proches sont consécutifs, par la variation de prix en pourcentage entre ces points. S'ils ne sont pas consécutifs, nous pouvons, par la méthode d'interpolation linéaire, trouver le proche prix consécutif, puis calculer la variation de prix en pourcentage. On notera que l'approximation du taux de dépréciation économique se fait par rapport à l'âge et celle du taux d'inflation, par rapport à la date. Il y a des cas où le traitement est différent, soit au point final quand il n'y a pas de proche point consécutif et si les taux calculés sont supérieurs à 100 % ou inférieurs à -100 %, auquel cas nous nous reportons aux taux moyens d'inflation et de dépréciation économique et à leurs écarts types estimés par le modèle géométrique pour dégager des taux de substitution. C'est par un nombre aléatoire que nous attribuons une valeur d'écart à chaque taux. Le triple de l'écart type est appliqué au taux de dépréciation économique, mais c'est l'écart type non majoré que l'on applique au taux d'inflation, car dans ce cas l'écart type est important.

où qi est le prix de vente moyen d'un bien d'âge s_i à la date t_i, q*_i est le prix de vente moyen transformé correspondant à q_i, s*_i est l'âge transformé correspondant à s_i, t*_i est la date transformée correspondant à t_i, e_i est un terme aléatoire indépendant de perturbation,

sont les paramètres inconnus déterminant la forme fonctionnelle dans la famille de puissance Box-Cox, et enfin a , b , g sont les paramètres inconnus déterminant la coordonnée à l'origine et les pentes des variables transformées.

En substituant l'équation 3 dans l'équation 2 et en simplifiant, nous obtenons :

Les fonctions de taux d'inflation et de dépréciation économique peuvent facilement être dérivées de l'équation 4 :

Les équations 4, 5, et 6 constituent un modèle d'équations simultanées non linéaires⁵.

Après avoir estimé les paramètres par catégorie de biens, nous pouvons dériver la fonction prix de chaque composante industrielle en sommant les moyennes pondérées des fonctions prix des catégories de biens appartenant à cette composante. Nous pouvons estimer la fonction prix globale d'une composante par l'équation suivante :

où

est le prix estimé pour une composante industrielle à l'âge s_i et à la date t_i; w_k est le facteur de pondération pour le type de biens k calculé par l'importance relative de cette catégorie dans la composante;

est le prix estimé du type de biens k à l'âge s_i et à la date t_i, ce que l'on peut décrire de la manière suivante :

On peut dériver le taux de dépréciation économique à l'âge s_i et à la date t_i pour une composante industrielle à l'aide de l'équation suivante :

De même, l'équation suivante permet de calculer le taux d'inflation à l'âge s_i et à la date t_i pour la même composante :

Empiriquement, il est bien plus difficile d'obtenir des données de dépréciation physique que des données de dépréciation économique. Voilà peut-être pourquoi on trouve si peu de données de recherche sur la dépréciation physique dans les études économiques. La plupart des chercheurs citent toujours les résultats classiques de Marston, Winfrey et Hempstead (1953) tirées d'une étude technique, mais il existe plusieurs différences entre une telle étude et une étude économique de la dépréciation physique. Une immobilisation jeune peut être en parfait état d'un point de vue technique, mais être déjà tombée en obsolescence fonctionnelle ou économique en raison de l'évolution technologique. Coen (1975) a indirectement dégagé les valeurs de dépréciation physique des industries manufacturières à deux chiffres aux États-Unis en étudiant le comportement d'investissement de ces branches d'activité. Il a ensuite transformé leurs valeurs de dépréciation physique en valeurs de dépréciation économique. Par ailleurs, Hwang (1996c) a dérivé une formule de conversion de la dépréciation économique en dépréciation physique⁶.

Si on prévoit que les prix du revenu engendré par un bien seront constants⁷ (disons d'un dollar par unité de capital), la valeur d'un bien au début de l'année t de sa durée utile V_t devrait correspondre à la valeur actualisée du revenu créé par la capacité productive de ce même bien entre l'année t et le terme de la durée utile (année n), soit

où W_t+i est la distribution de survie physique du bien à l'année t+i et y est le taux d'intérêt réel estimé par le rendement obligataire moyen (Canadian Scotia McLeod) après rajustement en fonction du taux d'inflation moyen calculé à l'aide de l'équation 10.

La dépréciation économique v_t de l'année t est la perte de valeur pendant l'année par rapport à la valeur à neuf, soit

En substituant l'équation 11 dans l'équation 12, nous pouvons facilement obtenir les n équations simultanées suivantes à résoudre pour les n variables inconnues de distribution de survie physique Wi pour i = 1, 2, . . . , n selon les n valeurs connues de dépréciation économique v_i pour i = 1,2,..., n.

On peut ainsi décrire la solution : étant donné la distribution de dépréciation économique v₁, v₂, . . . , v_n d'un bien, si les prix prévus de location de ce bien sont fonction du taux d'intérêt réel r et d'autres variables indépendantes de W_i (W₁ = 1, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de dépréciation physique si le bien est neuf) et que la distribution de survie physique est normalisée, on peut calculer cette distribution W_j par l'équation suivante :

On peut employer l'équation 7 pour dégager la forme ou le profil prix-âge-date d'inflation et de dépréciation économique pour chaque composante industrielle. L'équation 10 peut également servir à calculer le taux d'inflation pour toute combinaison d'âge et de date dans chaque composante. On peut obtenir la forme invariante avec le temps de la dépréciation économique de chaque composante en calculant la moyenne des formes tirées de l'équation 7 par rapport à la date. De même, on peut calculer la forme invariante avec l'âge de la dépréciation économique de chaque composante en calculant la moyenne des taux dérivés de l'équation 10 par rapport à l'âge. On utilise les taux calculés pour ajuster le rendement obligataire moyen (Canadian Scotia McLeod) et ainsi obtenir le taux d'intérêt réel r de l'équation 11. On peut dégager la dépréciation économique à tout âge en calculant la différence entre la forme de cet âge et celle de l'âge consécutif. Enfin, on peut employer l'équation 14 pour établir la distribution de survie physique invariante dans le temps.

Là encore, si nous voulons obtenir la forme paramétrique de la dépréciation physique, nous pouvons nous reporter au modèle de transformation de puissance Box-Cox pour approcher la distribution de survie physique tirée de l'équation 14. Ce modèle peut être extrait des équations 4 et 5 si on enlève la variable temps t_i et remplace q_i par W_i, soit

Dans l'équation 15, si

₁ = 1 et

₂ = 1, la forme est linéaire et, si

₁ = 0 et

₂ = 1, la forme est géométrique. Si

₁ < 1 et

₂ < 1, elle est convexe (il y a plus de dépréciation les premiers temps qu'après) et enfin, si

₁ > 1 et

₂ > 1, elle est concave (il y a moins de dépréciation les premiers temps qu'après).

Les équations 15 et 16 constituent un modèle d'équations simultanées non linéaires. On estime les taux b_i dans l'équation 16 en calculant la variation en pourcentage entre deux W_i consécutifs. On estime les paramètres a , b,

₁ et

₂ par régression non linéaire (SAS) SYSNLIN pour la spécification SUR («seemingly unrelated regression») en non-linéarité. (On trouvera un spécimen de programme à l'annexe III.)

On connaît bien le modèle d'inventaire permanent par lequel on mesure les flux et les stocks de capital fixe (FSCF). On peut trouver de tels modèles dans les publications des services statistiques de la plupart des pays industrialisés (qu'il s'agisse de Statistique Canada (1994) ou du Bureau of Labor Statistics aux États-Unis (1979)). Toutefois, les modèles classiques ne font que mesurer le côté «quantités» des FSCF. Le déflateur de la formation brute de capital fixe sert à la déflation de tous les mouvements et les stocks. Comme la dépréciation économique n'entre pas dans le calcul du côté «prix» des FSCF, on doit l'intégrer à la mesure du côté «quantités». Il est extrêmement difficile de trouver une fonction de dépréciation ainsi intégrée, d'où la conclusion possible que la double mesure des quantités et des prix par les modèles classiques est erronée. Les divers éléments des FSCF ont un contenu propre. Ils représentent des quantités différentes et devraient avoir des prix différents. Dans ce qui suit, nous mesurerons tant les quantités que les prix des FSCF. Nous appliquerons la dépréciation physique à la seule dépréciation des quantités et la dépréciation économique à la seule dépréciation des prix.

I_i est une série chronologique de la formation brute de capital fixe en dollars constants; P_i est une série chronologique de déflateur correspondant à I_i; a_i est une série chronologique de l'indice des prix des immobilisations non neuves; w_i est une distribution de dépréciation physique; W_i est la distribution de survie correspondant à w_i; v_i est une distribution de dépréciation économique; V_i est la distribution de survie correspondant à v_i; L est une durée moyenne; n = 2L-1 est la durée utile maximum.

Dans l'exposé qui suit, nous nous contenterons de présenter les équations de mesure des provisions de consommation de capital et du stock net de capital en fin d'année. On peut de même obtenir les équations de mesure des immobilisations retirées et du stock brut en fin d'année en remplaçant la dépréciation physique et la distribution de survie correspondante par la distribution de retrait d'immobilisations et la distribution de survie correspondante. Ainsi, il n'y aura pas de dépréciation économique du côté des prix.

Il existe un lien entre la distribution de dépréciation physique w_i et la distribution de survie correspondante W_i que l'équation suivante permet de décrire.

De même, on peut rapporter à l'aide de l'équation suivante la distribution de dépréciation économique v_i à sa distribution de survie correspondante V_i.

est le poids de l'investissement présent ou passé qui entre dans la mesure du stock net en fin d'année K_t du côté des quantités. A_t-i est le facteur «inflation» d'ajustement des prix défini par

Les remplacements R_t ou provisions pour consommation de capital peuvent ainsi se calculer :

Le déflateur PR_t des provisions pour consommation de capital R_t peut ainsi s'estimer :

est le poids de l'investissement passé qui entre dans la mesure du remplacement R_t du côté des quantités. A_t-i-1 est le facteur «inflation» d'ajustement des prix défini par l'équation 22 par remplacement de i par i+1.

On peut aisément prouver l'existence d'un lien entre les variables K_t et K_t-1 de stock net de fin d'année du présent et du passé immédiat, ce qu'on peut décrire par l'équation suivante :

Soit t', l'année de référence où P_t' = 1. Les déflateurs PK _t' et PR_t' à l'année de référence t', qui sont respectivement calculés à l'aide des équations 20 et 24, ne sont généralement pas égaux à 1. Pour les rendre égaux à 1, on devrait respectivement diviser PK_t et PR_t pour tous les t par PK _t' et PR _t'. Comme le côté «prix» a été divisé, if faut multiplier d'autant le côté «quantités» pour neutraliser l'effet de mise en année de référence. Les facteurs PK _t' et PR _t' sont habituellement inférieurs à 1.

C'est pourquoi les quantités K_t et R_t estimées par le modèle classique sont généralement surestimées par les facteurs multiplicatifs correspondants.

Ainsi, les valeurs estimatives finales du stock net en fin d'année, des provisions pour consommation de capital et de leurs déflateurs sont les suivantes :

Dans cet exposé tenant lieu d'introduction, nous avons esquissé un nouveau modèle économique de mesure des flux et stocks de capital fixe sans entrer dans les détails. Nous n'y présentons pas d'estimations, mais seulement des formules et des équations⁸. Pour un traitement plus approfondi du sujet, le lecteur pourra se reporter aux documents cités dans la bibliographie.

Les fonctions de taux d'inflation et de dépréciation économique prises en compte dans les équations simultanées correspondent aux seules conditions du premier ordre dans l'estimation d'une fonction de production. Il nous faudra éventuellement nous attacher aux conditions du second ordre. Il reste à savoir s'il y a lieu de les inclure et comment.

La formule de conversion servant à dériver la dépréciation physique de la dépréciation économique repose sur l'hypothèse selon laquelle le loyer du capital est fonction du taux d'intérêt réel et d'autres variables indépendantes de la distribution de dépréciation physique. Il faudra pousser la recherche dans le cas plus général où cette hypothèse a plus de jeu.

Le modèle ne mesure pas les retraits d'immobilisations, les stocks bruts en fin d'année et leurs déflateurs, car on ne dispose pas de résultats empiriques de distribution de retrait d'immobilisations. Pour compléter l'étude empirique, il faudra une recherche sur cette distribution par produit et par industrie.

On peut exécuter la procédure d'estimation surtout au moyen de programmes conçus pour un micro-ordinateur, sauf dans le cas de l'estimation paramétrique par la régression des équations simultanées non linéaires, opération devant être exécutée dans un gros ordinateur. Toutefois, si on devait disposer du processeur de séries chronologiques, toute la procédure pourrait s'exécuter dans un micro-ordinateur.

La dépréciation est double, c’est-à-dire physique et économique. La dépréciation physique est aussi appelée «remplacement». Il faut remplacer de temps à autre pour conserver le rendement d’un parc de biens d’équipement. Ainsi, pour qu’une voiture reste d’un fonctionnement sûr et efficient, il faut remplacer sa boîte de vitesses après un certain kilométrage. Il peut aussi y avoir disparition ou retrait d’immobilisations au terme de leur durée utile. Règle générale, le coût de remplacement représente une fraction de tout le coût d’origine d’un bien d’équipement intact et neuf. La distribution par âge des coûts de remplacement est la forme de la dépréciation physique des biens d’équipement. Cette forme varie selon les biens. Un des modèles les plus cités dans les études économiques est le modèle géométrique. Toutefois, on peut songer aux ampoules électriques qui n’ont pas de coût de remplacement tant qu’elles ne grillent pas entièrement. Quant à la dépréciation économique que l’on appelle simplement «dépréciation» d’habitude, c’est une notion de valeur ou de prix. La valeur ou le prix d’un bien d’équipement non neuf diminue avec l’âge, en grande partie parce que sa durée utile est moindre. Ces deux types de dépréciation sont distincts, mais se trouvent nettement liés l’un à l’autre par la dualité prix-quantité comme l’a fait voir Jorgenson (1973). Le niveau d’acquisition de biens d’équipement va de pair avec le prix de location de services de capital. Le stock de capital va de pair avec le prix d’acquisition de biens d’équipement. Le remplacement, élément des dépenses d’investissement, va de pair avec la dépréciation, élément du prix de location de services de capital.

Les chercheurs ont estimé la dépréciation économique en examinant les rapports entre les âges et les prix de certains types de biens, neufs ou non. Ackerman (1973) a étudié les voitures d’occasion comme bien qui se déprécie pour découvrir que leur prix décroissait avec l’âge à un rythme exponentiel constant. Hulten et Wykoff (1981) ont appliqué la transformation de puissance Box-Cox à un échantillon de prix de bâtiments non neufs en vue d’estimer le taux et la forme de la dépréciation économique. Ils ont constaté que le modèle approprié était approximativement géométrique. Koumanakos et Hwang (1993) ont appliqué le modèle de Hulten et Wykoff aux profils prix-âge de certaines catégories de biens d’un échantillon d’immobilisations retirées ou vendues déclarées dans le cadre de l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et en réparations de Statistique Canada. Ils ont calculé la forme et le taux de cette dépréciation par catégorie de biens. Ils ont fait de même pour certaines industries canadiennes en prenant la moyenne pondérée des catégories de biens appartenant à ces branches d’activité. Ils ont établi une procédure qui rend possible un large éventail d’études de dépréciation économique. Jorgenson (1996) a résumé les études empiriques récentes consacrées à la dépréciation d’après un modèle économétrique des prix des immobilisations. Toutefois, la méthode classique paraît insuffisante, puisqu’elle se sert d’une équation unique pour estimer les paramètres de la fonction des prix. La fonction prix la mieux ajustée ne saurait nécessairement garantir l’optimalité du comportement des taux d’inflation et de dépréciation économique. Hwang (1996b) a créé une méthode par équations simultanées avec une fonction prix, une fonction taux de dépréciation économique et une fonction taux d’inflation en vue de l’estimation des paramètres de la fonction prix. En d’autres termes, il a estimé les paramètres de la fonction prix de sorte que celle-ci ait une somme minimale d’erreurs résiduelles quadratiques avec pour contrainte que les deux autres fonctions en aient une aussi.

Il est plus difficile d'estimer la dépréciation physique que la dépréciation économique. Très peu d'études économiques ont été consacrées à la première. Marston, Winfrey et Hempstead (1953) ont fait une étude technique de certains types d'immobilisations et dégagé un régime de dépréciation physique. Il existe des différences entre une telle étude technique et une étude économique de la dépréciation physique. Des immobilisations jeunes peuvent être en parfait état d'un point de vue technique, mais devront peut-être être retirées pour des raisons économiques, c'est-à-dire à cause de l'évolution technologique. Seule l'étude économique intéressera les économistes, car elle est la seule à permettre une mesure cohérente entre dépréciation économique et dépréciation physique. D'autres chercheurs ont indirectement estimé cette dernière dépréciation en examinant le comportement des dépenses effectives d'investissement dans diverses industries. Coen (1975) a posé plusieurs hypothèses de rechange sur les régimes tant de durée utile que de dépréciation. Il a appliqué des séries chronologiques annuelles des dépenses en immobilisations des industries de fabrication à cinq modèles et employé certains critères statistiques pour juger du modèle le mieux ajusté. Par une formule explicite, il a ensuite transformé la dépréciation physique en dépréciation économique. Dans le présent document, nous dérivons une formule de transformation de la dépréciation économique en dépréciation physique, laquelle permet non seulement de dégager commodément cette dernière dépréciation, mais aussi d'en faire une estimation cohérente par rapport à la dépréciation économique. Le modèle à équations simultanées de transformation de puissance de Box-Cox sert encore à estimer les paramètres de la forme paramétrique de la dépréciation physique transformée.

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¹Le déflateur de la formation brute de capital fixe sert à la déflation de tous les éléments des FSCF comme on l’indique dans les publications des services statistiques de la plupart des pays industrialisés (comme Statistique Canada (1994) ou le Bureau of Labor Statistics aux États-Unis (1979)).

² Ce n’est pas d’aujourd’hui que l’on mesure une variable économique en la décomposant en ses éléments «prix» et «quantités». Ainsi, Christensen et Jorgenson (1973) ont décomposé toutes les variables économiques dans leur étude des mesures de performance économique dans le secteur privé américain. Ils ont mesuré le revenu comme flux et la richesse comme stock. Ils ont posé l’hypothèse que la forme de la dépréciation physique est géométrique. Ainsi, le prix de location du capital a une forme simple et le revenu du capital peut aisément se calculer. Qui plus est, à cause des traits de dualité d’un modèle géométrique de la dépréciation (si la dépréciation physique est géométrique, la dépréciation économique l’est aussi, et vice versa), la cohérence entre le côté «quantités» et le côté «prix» de leur mesure peut facilement se maintenir.

³ L’estimation des flux et des stocks de capital fixe peut être directe ou indirecte. La méthode directe consiste à recueillir et à compiler les données directement à partir d’enquêtes ou des dossiers comptables d’archives administratives. Dans bien des pays, les services statistiques ont fait ample usage des dossiers fiscaux. La méthode la plus répandue est celle de l’inventaire permanent où on calcule le stock brut de capital d’une année quelconque en cumulant les valeurs passées d’investissement jusqu’à cette année et en déduisant la valeur cumulée des immobilisations retirées. De même, on calcule le stock net de capital en déduisant la valeur cumulée des immobilisations dépréciées.

⁴^{Dans cet

exposé, nous nous contentons d'un traitement abrégé sans

présenter d'estimations. Pour un examen détaillé de la

procédure d'estimation et de ses résultats, on peut consulter

Hwang (1996b).}

⁵ On peut estimer les paramètres du modèle par régression non linéaire (SAS) SYSNLIN pour la spécification SUR («seemingly unrelated regression») en non-linéarité.

⁶Dans ce document, nous présentons seulement les résultats avec une brève discussion. Pour un examen détaillé de la façon dont on obtient la formule, voir Hwang (1996c).

⁷On peut estimer les prix futurs à prévoir en se reportant aux prix de location du capital, qui sont fonction du taux d’intérêt réel, de la dépréciation physique et de certaines variables fiscales. Si nous employons les prix de location du capital comme prix futurs, le programme d’estimation devient extrêmement compliqué et très difficile à manier. On trouvera dans Coen (1975) la formule de calcul du loyer du capital.