RiskPaths : Les modèles statistiques sous-jacents

Description générale
Événements et estimations des paramètres

Description générale

Le modèle RiskPaths étant conçu pour étudier l'absence d'enfants, le principal événement est la première grossesse (qui est toujours supposé aboutir à une naissance). La grossesse peut survenir n'importe quand après le 15e anniversaire, le risque évoluant en fonction de l'âge ainsi que de la situation d'union. Les modèles statistiques sous-jacents sont des régressions à risque constant par morceaux. En ce qui concerne la fécondité, cela implique l'hypothèse d'un risque de grossesse constant pour un groupe d'âge (p. ex.15 à 17,5 ans) et une situation d'union (p. ex.célibataire sans aucune union antérieure) donnés.

Pour les unions, nous distinguons quatre niveaux d'état possibles :

• célibataire;
• les trois premières années d'une première union;
• les années suivantes d'une première union;
• toutes les années d'une deuxième union.

(Après la dissolution d'une deuxième union, il est supposé que les femmes restent célibataires.) Par conséquent, nous modélisons cinq événements d'union distincts :

• formation de la première union;
• dissolution de la première union;
• formation de la deuxième union;
• dissolution de la deuxième union;
• le changement de phase d'union qui survient après trois ans dans la première union.

Le dernier événement (changement de phase de l'union) est un événement horloge, qui diffère des autres événements en ce sens que le moment où il survient n'est pas stochastique mais prédéfini. (Un autre événement horloge dans le modèle est le changement de l'indice d'âge, tous les 2,5 ans.) Outre les unions et la fécondité, nous modélisons la mortalité - une femme peut mourir à n'importe quel point dans le temps. Nous arrêtons la simulation de la grossesse et des événements d'union quand une femme est décédée ou qu'elle est enceinte (car nous cherchons seulement à étudier l'absence d'enfants) ou à son 40e anniversaire, parce que les premières grossesses après cet âge sont très rares en Russie et en Bulgarie et ne sont donc pas prises en compte dans le présent modèle.

À 15 ans, une femme devient exposée à la fois au risque de grossesse et de formation d'une union. Il s'agit de risques concurrents. Nous tirons des durées aléatoires jusqu'à la première grossesse et jusqu'à la formation de la première union. À ce stade il existe deux autres événements concurrents - la mortalité et le changement de groupe d'âge. (Comme nous supposons que les risques de grossesse et de formation d'une union évoluent avec l'âge, les risques qui sous-tendent les durées aléatoires ne s'appliquent qu'à une période donnée - 2,5 ans dans notre modèle - et doivent être recalculés à chaque point dans le temps.)

Autrement dit, le 15e anniversaire sera suivi par l'un des quatre événements possibles suivants :

• la femme décède;
• elle devient enceinte;
• elle entre dans une union;
• elle entre dans un nouveau groupe d'âge à 17,5 ans, parce qu'aucun des trois événements qui précèdent n'a eu lieu avant qu'elle n'atteigne 17,5 ans.

Le décès ou la grossesse mettent fin à la simulation. Un indice de changement d'âge requiert que les temps d'attente pour les événements concurrents de formation d'une union et de grossesse soient mis à jour. L'événement de formation d'une union modifie le risque d'une première grossesse (le rendant beaucoup plus élevé) et change l'ensemble de risques concurrents. La femme n'est désormais plus exposée au risque de formation d'une première union, mais devient exposée au risque de dissolution de l'union.

Événements et estimations des paramètres

Première grossesse

Comme nous l'avons décrit plus haut, la première grossesse est modélisée au moyen d'un risque à un âge de référence et des risques relatifs dépendant de la situation d'union et de la durée. Le tableau 1 qui suit donne les estimations des paramètres pour la Bulgarie et la Russie avant et après la transition politique et économique.

Tableau 1

	Bulgarie	Russie
15 à 17,5 ans	0.2869	0.2120
17,5 à 20 ans	0.7591	0.7606
20 à 22,5 ans	0.8458	0.8295
22,5 à 25 ans	0.8167	0.6505
25 à 27,5 ans	0.6727	0.5423
27,5 à 30 ans	0.5105	0.5787
30 à 32,5 ans	0.4882	0.4884
32,5 à 35 ans	0.2562	0.3237
35 à 37,5 ans	0.2597	0.3089
37,5 à 40 ans	0.1542	0.0909

 

Tableau 1 Estimations des paramètres pour la Bulgarie et la Russie avant et après la transition politique et économique

	Avant la transition de 1989		Dix ans après la transition : 1999+
	Bulgarie	Russie	Bulgarie	Russie
Pas dans une union	0.0648	0.0893	0.0316	0.0664
Trois premières années de la première union	1.0000	1.0000	0.4890	0.5067
Première union après trois ans	0.2523	0.2767	0.2652	0.2746
Deuxième union	0.8048	0.5250	0.2285	0.2698

Les données du tableau 1 sont interprétées de la façon suivante dans le modèle. Aussi longtemps qu'une femme n'a pas formé une union, nous devons multiplier son risque de base variant en fonction de l'âge d'une première grossesse par le risque relatif de  « ne pas être dans une union  ». Par exemple, nous pouvons calculer le risque de grossesse d'une femme célibataire de 20 ans de la cohorte bulgare avant la transition comme étant 0,8458*0,0648 = 0,05481. À ce taux de ?=0,05481 :

• le temps d'attente moyen prévu de l'événement de grossesse est 1/? = 1/0,05481 = 18,25 ans;
• la probabilité qu'une femme ne devienne pas enceinte dans les 2,5 ans qui suivent (étant donné qu'elle demeure célibataire) est exp(-?t) = exp(–0,05481*2,5) = 87,2 %.

Donc, à son 20e anniversaire, nous pouvons tirer une durée aléatoire jusqu'à la première grossesse sous forme d'un nombre aléatoire suivant une loi uniforme (un nombre qui peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 1 avec la même probabilité) en utilisant la formule :

Durée aléatoire = -ln(RandomUniform) / (.

Comme nous l'avons calculé plus haut, dans 87,2 % des cas, aucune conception n'aura lieu au cours des 2,5 années qui suivent. Par conséquent, si nous tirons un nombre aléatoire suivant une loi uniforme plus petit que 0,872, le temps d'attente correspondant sera plus long que 2,5 ans, puisque –ln(RandomUniform) / ( = -ln(0,872)/0,05481 = 2,5 ans. Un tirage aléatoire supérieur à 0,872 résultera en un temps d'attente plus faible que 2,5 ans - dans cette situation, si la femme n'entre pas dans une union avant l'événement de grossesse, la grossesse a lieu dans notre simulation.

Afin de poursuivre cet exemple, supposons que le premier événement qui se produit dans notre simulation est la formation d'une union à l'âge de 20,5 ans. Nous devons maintenant mettre à jour le risque de grossesse. Tandis que le risque de base reste le même pour les deux années qui suivent (c.-à-d. 0,8458), le risque relatif est maintenant égal à 1,0000 (conformément à la catégorie de référence du tableau 1) parce que la femme se trouve dans les trois premières années d'une union. Le nouveau taux de risque de grossesse (applicable aux deux années suivantes, jusqu'à l'âge de 22,5 ans) est maintenant considérablement plus élevé, soit 0,8458*1,0000 = 0,8458. Le temps d'attente moyen à ce taux n'est donc que de 1/0,8458 = 1,18 an et, pour tout nombre aléatoire supérieur à exp(–0,8458*2)=0,1842, le temps d'attente simulé sera inférieur à deux ans. Autrement dit, 81,6 % (1  0,1842) de femmes connaêtront une première grossesse dans les deux premières années d'une première union ou d'un premier partenariat qui a débuté à l'âge de 20,5 ans.

Formation de la première union

Les risques sont donnés sous forme de taux constants par morceaux évoluant avec l'âge. De nouveau, nous modélisons des intervalles d'âge de 2,5 ans. Voici les taux pour les femmes avant toute conception, puisqu'un tel événement mettrait fin à notre simulation.

Tableau 2 Formation de la première union

	Avant la transition de 1989		Dix ans après la transition : 1999+
	Bulgarie	Russie	Bulgarie	Russie
15 à 17,5 ans	0.0309	0.0297	0.0173	0.0303
17,5 à 20 ans	0.1341	0.1342	0.0751	0.1369
20 à 22,5 ans	0.1672	0.1889	0.0936	0.1926
22,5 à 25 ans	0.1656	0.1724	0.0927	0.1758
25 à 27,5 ans	0.1474	0.1208	0.0825	0.1232
27,5 à 30 ans	0.1085	0.1086	0.0607	0.1108
30 à 32,5 ans	0.0804	0.0838	0.0450	0.0855
32,5 à 35 ans	0.0339	0.0862	0.0190	0.0879
35 à 37,5 ans	0.0455	0.0388	0.0255	0.0396
37,5 à 40 ans	0.0400	0.0324	0.0224	0.0330

L'exemple de paramétrisation donné au tableau 2 s'interprète de la façon suivante : le risque de formation d'une première union des femmes bulgares de la première cohorte est nul jusqu'au 15e anniversaire; après cela, il évolue par intervalle de 2,5 ans de 0,0309 à 0,1341, puis de 0,1341 à 0,1672, et ainsi de suite. Le risque le plus élevé s'observe pour le groupe des 20 à 22,5 ans - au taux de 0,1672, la durée prévue jusqu'à la formation d'une union est de 1/0,1672=6 ans. Une femme qui est célibataire à son 20e anniversaire a une probabilité de 34 % de former une première union au cours des 2,5 années suivantes (p=1–exp(–0,1672*2,5)).

Formation de la deuxième union

Une femme devient exposée au risque de formation d'une deuxième union si et quand sa première réunion est dissoute. Contrairement à la formation de la première union qui est fondée sur l'âge, ce processus ne démarque pas à un point fixe dans le temps, mais est déclenché par un autre événement (dissolution de la première union). Par conséquent, les intervalles de temps des taux de risque constants par morceaux estimés ont trait au temps écoulé depuis la dissolution de la première union.

Tableau Formation de la deuxième union

	Avant la transition de 1989		Dix ans après la transition : 1999+
	Bulgarie	Russie	Bulgarie	Russie
<2 ans après la dissolution	0.1996	0.2554	0.1457	0.2247
2 à 6 ans après la dissolution	0.1353	0.1695	0.0988	0.1492
6 à 10 ans après la dissolution	0.1099	0.1354	0.0802	0.1191
10 à 15 ans après la dissolution	0.0261	0.1126	0.0191	0.0991
>15 ans après la dissolution	0.0457	0.0217	0.0334	0.0191

Dissolution d'une union

La première ainsi que la deuxième union peut être dissoute, le processus débutant au moment de la formation de la première et de la deuxième union, respectivement. Comme la taille de l'échantillon est très faible pour la modélisation de l'événement de dissolution de la deuxième union, nous ne faisons pas la distinction entre les cohortes avant et après la transition pour cet événement.

Tableau Dissolution d'une union

	Avant la transition de 1989		Dix ans après la transition : 1999+
	Bulgarie	Russie	Bulgarie	Russie
Première année de l'union	0.0096	0.0380	0.0121	0.0601
Durée de l'union de 1 à 5 ans	0.0200	0.0601	0.0252	0.0949
Durée de l'union de 5 à 9 ans	0.0213	0.0476	0.0269	0.0752
Durée de l'union de 9 à 13 ans	0.0151	0.0408	0.0190	0.0645
Durée de l'union >13 ans	0.0111	0.0282	0.0140	0.0445

Table

	Bulgarie	Russie
Trois premières années de l'union	0.0371	0.0810
Durée de l'union de 3 à 9 ans	0.0128	0.0744
Durée de l'union de 9 ans et plus	0.0661	0.0632

Mortalité

Dans ce modèle échantillon, nous laissons à l'utilisateur le soin de préciser les probabilités de décès selon l'âge ou de  « désactiver  » la mortalité, ce qui permet d'étudier la fécondité sans l'interférence de la mortalité. Dans ce deuxième cas, toutes les femmes atteignent l'âge maximal de 100 ans. Si l'utilisateur choisit de simuler la mortalité, les probabilités spécifiées sont converties par le modèle en taux de risque constants par morceaux (en se basant sur la formule –ln(1-p) pour p<1) de sorte que le décès peut survenir à n'importe quel moment durant une année. Si la probabilité est fixée à 1 (comme cela est le cas quand âge = 100), il est supposé que le décès survient immédiatement.