Détails du calcul des estimations de la tendance-cycle à Statistique Canada

Le présent document explique en détail comment Statistique Canada calcule les estimations de la tendance-cycle. Il s'agit d'un document technique à l'intention des utilisateurs qui souhaitent appliquer l'estimation de la tendance-cycle aux séries mensuelles offertes dans CANSIM. Les formules générales pour les calculs mathématiques sont présentées ci-dessous, avec la dérivation et l'application des poids de la moyenne mobile. Pour en savoir plus sur l'utilisation des estimations de la tendance-cycle en analyse, veuillez consulter « Estimations de la tendance-cycle – foire aux questions » (Statistique Canada, 2015).

La méthode d'estimation de la tendance-cycle utilisée à Statistique Canada applique une moyenne mobile. Elle ne supprime pas les effets saisonniers. Cette méthode vise les séries mensuelles d'au moins 13 points de données qui n'affichent pas d'effets saisonniers (soit parce qu'il n'existe aucune saisonnalité, soit parce qu'elle a été supprimée par désaisonnalisation).

1.0 Formule générale

Pour chaque mois t, la formule appliquée pour estimer la tendance-cycle, représentée par $T{C}_t$, est la suivante :

Formule 1

$$T{C}_t=\frac{{\sum }_{j=t-6}^{t+6}{I}_j{W}_j^{\left(t\right)}{Y}_j}{{\sum }_{k=t-6}^{t+6}{I}_k{W}_k^{\left(t\right)}}\text{, (1)}$$

où $Y_j$ est la valeur de la série d'intrants pour le mois $j$, disponible pour $j=1,\dots ,T$, et $I_j$ est un indicateur égal à 1 si la valeur de la série d'intrants pour le mois $j$ est disponible et à 0 autrement. L'application de cette formule près du début ou de la fin d'une série donne des termes non définis (p. ex. $Y_0$), qui sont examinés dans la section 1.1. Les quantités $W_j^{\left(t\right)}$ représentent les poids de la moyenne mobile appliqués au mois $j$ pour le calcul de la tendance-cycle du mois t. Cela correspond au filtre linéaire en cascade de Dagum et Luati (2009), présenté au tableau 1.

Tableau 1 – Poids précis de la moyenne mobile pour le calcul de la tendance-cycle du mois t

Mois	Poids
t-6 et t+6	-0,027
t-5 et t+5	-0,007
t-4 et t+4	0,031
t-3 et t+3	0,067
t-2 et t+2	0,136
t-1 et t+1	0,188
t	0,224

L'application de la formule (1) pour chaque mois $t=1,\dots ,T$ produit la série de tendance-cycle.

1.1 Application de la formule générale

Les poids présentés au tableau 1 combinent plusieurs filtres, dont chacun est optimal à des fins précises, et les résultats combinés donnent des estimations robustes de la tendance-cycle qui ont de bonnes propriétés statistiques. Pour obtenir plus d'information, veuillez consulter Dagum et Luati (2009).

Par construction, l'agrégation des poids du tableau 1 pour tous les mois allant de (t-6) à (t+6) donne un total de 1 exactement. Cela est nécessaire pour que le niveau de la série tendance-cycle soit le même en moyenne que le niveau de la série d'intrants. Lorsque nous calculons les estimations de la tendance-cycle pour les six premiers et les six derniers mois de la série d'intrants, nous remarquons que la formule (1) comprend des termes qui ne sont pas définis, Y₀ par exemple. Nous pouvons supposer que ces termes équivalent à zéro, car ils disparaissent lorsqu'ils sont multipliés par le coefficient de l'indicateur correspondant, I₀, qui est par définition égal à zéro. Dans ces cas, le dénominateur de la formule (1) représente un ajustement des poids de la moyenne mobile qualifié d'« approche couper-et-normaliser », pour que la somme des poids utilisés pour estimer la tendance-cycle pour chaque mois soit égale à 1. Selon l'approche couper-et-normaliser, le poids des mois pour lesquels il n'y a pas de données disponibles est redistribué proportionnellement aux mois pour lesquels des données sont disponibles. Pour tous les autres mois, le dénominateur de la formule (1) est égal à 1, et la formule devient une simple moyenne mobile symétrique avec les poids spécifiés au tableau 1.

1.2 Autre expression

La formule (1) utilise une approche couper-et-normaliser pour calculer les poids de la moyenne mobile pour les six premiers et les six derniers mois de la série d'intrants. En fait, dans l'approche couper-et-normaliser, on utilise des poids modifiés de la moyenne mobile pour estimer la tendance-cycle des six premiers mois et des six derniers mois de la série. Par exemple, lorsqu'on estime la tendance-cycle pour le dernier mois d'une série, les valeurs des six mois suivants ne sont pas encore connues. L'approche couper-et-normaliser rajuste proportionnellement les poids pour les mois disponibles de façon à ce que le total soit égal à 1. Une expression équivalant à la formule (1) est donnée dans la formule (2), qui se fonde sur les poids de la moyenne mobile rééchelonnés, ${\tilde{W}}_j^{\left(t\right)}$, donnés dans la formule (3).

Formule 2

$$T{C}_t={\sum }_{j=t-6}^{t+6}{I}_j{\tilde{W}}_j^{\left(t\right)}{Y}_j\text{, (2)}$$

Formule 3

$$\text{où}{\tilde{W}}_j^{\left(t\right)}=\frac{W_j^{\left(t\right)}}{{\sum }_{k=t-6}^{t+6}{I}_k{W}_k^{\left(t\right)}}\text{. (3)}$$

2.0 Illustration

Afin d'illustrer le calcul et l'application des poids de la moyenne mobile, nous examinons une série mensuelle,$Y_t$, qui s'étend de janvier 2010 à juillet 2015, pour un total de 67 mois. Les poids de la moyenne mobile rééchelonnés dans les formules ci-dessous ont été arrondis à six décimales. Cet arrondissement entraîne parfois une surestimation ou une sous-estimation au début et à la fin de la série. Ainsi, la tendance-cycle obtenue au moyen de ces poids arrondis ne sera pas précise dans ces sections en raison des erreurs d'arrondissement. Il faut utiliser les poids précis pour reproduire avec exactitude les estimations publiées de la tendance-cycle.

Les trois exemples ci-dessous illustrent l'estimation de la tendance-cycle près du début, du milieu et de la fin de la série. L'objectif est de démontrer l'application des moyennes mobiles lorsque les mois de la moyenne mobile sur 13 termes ne sont pas tous disponibles (exemples 1 et 3) et lorsqu'ils le sont (exemple 2).

Exemple 1

Pour l'estimation de la tendance-cycle de mars 2010, (t=3 de la série), les valeurs de $Y_j$ sont disponibles seulement pour les mois j=1,...,9, ce qui correspond à la période allant de janvier 2010 à septembre 2010, de sorte qu'une moyenne mobile sur neuf termes est utilisée.

Selon la formule (3), le poids rééchelonné appliqué à janvier 2010 pour cette moyenne mobile est donné par :

$${\tilde{W}}_1^{\left(3\right)}=\frac{\mathrm{0,136}}{\left(\mathrm{0,136}+\mathrm{0,188}+\mathrm{0,224}+\mathrm{0,188}+\mathrm{0,136}+\mathrm{0,067}+\mathrm{0,031}-\mathrm{0,007}-\mathrm{0,027}\right)}\approx \mathrm{0,145299}\text{.}$$

Les valeurs approximatives des poids rééchelonnés de la moyenne mobile servant au calcul de la tendance-cycle du troisième mois, ${\tilde{W}}_j^{\left(3\right)}$, sont présentées au tableau 2 pour les mois qui y contribuent :

Tableau 2 – Poids de la moyenne mobile rééchelonnés (valeurs approximatives) pour mars 2010

Mois de référence	Poids	Valeur approximative
j=1 (janv. 2010)	${\tilde{W}}_1^{\left(3\right)}$	0,145299
j=2 (févr. 2010)	${\tilde{W}}_2^{\left(3\right)}$	0,200855
j=3 (mars 2010)	${\tilde{W}}_3^{\left(3\right)}$	0,239316
j=4 (avril 2010)	${\tilde{W}}_4^{\left(3\right)}$	0,200855
j=5 (mai 2010)	${\tilde{W}}_5^{\left(3\right)}$	0,145299
j=6 (juin 2010)	${\tilde{W}}_6^{\left(3\right)}$	0,071581
j=7 (juillet 2010)	${\tilde{W}}_7^{\left(3\right)}$	0,033120
j=8 (août 2010)	${\tilde{W}}_8^{\left(3\right)}$	-0,007479
j=9 (sept. 2010)	${\tilde{W}}_9^{\left(3\right)}$	-0,028846

Enfin, l'application de la formule (2) à la série d'intrants $Y_j$ donne l'expression suivante pour $T{C}_3$, l'estimation de la tendance-cycle de mars 2010 :

$$\begin{array}{c}T{C}_3=Y_1\text{*}\left(\mathrm{0,145299}\right)+Y_2\text{*}\left(\mathrm{0,200855}\right)+Y_3\text{*}\left(\mathrm{0,239316}\right)+Y_4\text{*}\left(\mathrm{0,200855}\right)+Y_5\\ \text{*}\left(\mathrm{0,145299}\right)+Y_6\text{*}\left(\mathrm{0,071581}\right)+Y_7\text{*}\left(\mathrm{0,033120}\right)+Y_8\text{*}\left(-\mathrm{0,007479}\right)\\ +Y_9\text{*}\left(-\mathrm{0,028846}\right)\text{.}\end{array}$$

Exemple 2

Pour l'estimation de la tendance-cycle d'août 2012 (t=32 de la série), les valeurs de $Y_j$ sont disponibles pour les mois j=26,…,38, ce qui correspond à la période allant de février 2012 à février 2013. On utilise donc une moyenne mobile complète sur 13 termes. En l'occurrence, comme le dénominateur de la formule (3) est exactement égal à 1, le rééchelonnement n'a aucun effet et les poids utilisés dans la moyenne mobile sont identiques aux poids du tableau 1.

Le poids rééchelonné appliqué à août 2012 dans cette moyenne mobile est donné par

$${\tilde{W}}_{32}^{\left(32\right)}=\frac{\mathrm{0,224}}{\left(-\mathrm{0,027}-\mathrm{0,007}+\mathrm{0,031}+\mathrm{0,067}+\mathrm{0,136}+\mathrm{0,188}+\mathrm{0,224}+\mathrm{0,188}+\mathrm{0,136}+\mathrm{0,067}+\mathrm{0,031}-\mathrm{0,007}-\mathrm{0,027}\right)}=\mathrm{0,224}$$

Les poids rééchelonnés de la moyenne mobile servant au calcul de la tendance-cycle pour le trente-deuxième mois, ${\tilde{W}}_j^{\left(32\right)}$, sont présentés au tableau 3 pour les mois qui y contribuent.

Tableau 3 – Poids de la moyenne mobile rééchelonnés pour août 2012

Mois de référence	Poids	Valeur
j=26 (févr. 2012) et j=38 (févr. 2013)	${\tilde{W}}_{26}^{\left(32\right)},{\tilde{W}}_{38}^{\left(32\right)}$	-0,027
j=27 (mars 2012) et j=37 (janv. 2013)	${\tilde{W}}_{27}^{\left(32\right)},{\tilde{W}}_{37}^{\left(32\right)}$	-0,007
j=28 (avril 2012) et j=36 (déc. 2012)	${\tilde{W}}_{28}^{\left(32\right)},{\tilde{W}}_{36}^{\left(32\right)}$	0,031
j=29 (mai 2012) et j=35 (nov. 2012)	${\tilde{W}}_{29}^{\left(32\right)},{\tilde{W}}_{35}^{\left(32\right)}$	0,067
j=30 (juin 2012) et j=34 (oct. 2012)	${\tilde{W}}_{30}^{\left(32\right)},{\tilde{W}}_{34}^{\left(32\right)}$	0,136
j=31 (juillet 2012) et j=33 (sept. 2012)	${\tilde{W}}_{31}^{\left(32\right)},{\tilde{W}}_{33}^{\left(32\right)}$	0,188
j=32 (août 2012)	${\tilde{W}}_{32}^{\left(32\right)}$	0,224

L'application de la formule (2) à la série d'intrants $Y_j$ donne l'expression suivante pour l'estimation de la tendance-cycle d'août 2012, $T{C}_{32}$ :

$$\begin{array}{c}T{C}_{32}=Y_{26}\text{*}\left(-\mathrm{0,027}\right)+Y_{27}\text{*}\left(-\mathrm{0,007}\right)+Y_{28}\text{*}\left(\mathrm{0,031}\right)+Y_{29}\text{*}\left(\mathrm{0,067}\right)+Y_{30}\text{*}\left(\mathrm{0,136}\right)+Y_{31}\\ \text{*}\left(\mathrm{0,188}\right)+Y_{32}\text{*}\left(\mathrm{0,224}\right)+Y_{33}\text{*}\left(\mathrm{0,188}\right)+Y_{34}\text{*}\left(\mathrm{0,136}\right)+Y_{35}\text{*}\left(\mathrm{0,067}\right)+Y_{36}\\ \text{*}\left(\mathrm{0,031}\right)+Y_{37}\text{*}\left(-\mathrm{0,007}\right)+Y_{38}\text{*}\left(-\mathrm{0,027}\right)\text{.}\end{array}$$

Exemple 3

Dans le cas de l'estimation de la tendance-cycle de juillet 2015, (t=67 de la série), les valeurs de $Y_j$ ne sont connues que pour les mois j=61,…,67, ce qui correspond à la période allant de janvier 2015 à juillet 2015. On utilise donc une moyenne mobile sur 7 termes.

Le poids rééchelonné appliqué à juillet 2015 dans cette moyenne mobile est donné par

$${\tilde{W}}_{67}^{\left(67\right)}=\frac{\mathrm{0,224}}{\left(\mathrm{0,224}+\mathrm{0,188}+\mathrm{0,136}+\mathrm{0,067}+\mathrm{0,031}-\mathrm{0,007}-\mathrm{0,027}\right)}\approx \mathrm{0,366013}\text{.}$$

Les valeurs approximatives des poids rééchelonnés de la moyenne mobile servant au calcul de la tendance-cycle pour le soixante-septième mois, ${\tilde{W}}_j^{\left(67\right)}$, sont présentées au tableau 4 pour les mois qui y contribuent.

Tableau 4 – Poids de la moyenne mobile rééchelonnés (valeurs approximatives) pour juillet 2015

Mois de référence	Poids	Valeur approximative
j=61 (janv. 2015)	${\tilde{W}}_{61}^{\left(67\right)}$	-0,044118
j=62 (févr. 2015)	${\tilde{W}}_{62}^{\left(67\right)}$	-0,011438
j=63 (mars 2015)	${\tilde{W}}_{63}^{\left(67\right)}$	0,050654
j=64 (avril 2015)	${\tilde{W}}_{64}^{\left(67\right)}$	0,109477
j=65 (mai 2015)	${\tilde{W}}_{65}^{\left(67\right)}$	0,222222
j=66 (juin 2015)	${\tilde{W}}_{66}^{\left(67\right)}$	0,307190
j=67 (juillet 2015)	${\tilde{W}}_{67}^{\left(67\right)}$	0,366013

L'application de la formule (2) à la série d'intrants $Y_j$ donne l'expression suivante pour l'estimation de la tendance-cycle de juillet 2015, $T{C}_{67}$ :

$$\begin{array}{c}T{C}_{67}= Y_{61}\text{*}\left(-\mathrm{0,044118}\right)+Y_{62}\text{*}\left(-\mathrm{0,011438}\right)+Y_{63}\text{*}\left(\mathrm{0,050654}\right)+Y_{64}\text{*}\left(\mathrm{0,109477}\right)\\ +Y_{65}\text{*}\left(\mathrm{0,222222}\right)+Y_{66}\text{*}\left(\mathrm{0,307190}\right)+Y_{67}\text{*}\left(\mathrm{0,366013}\right)\text{.}\end{array}$$

3.0 Les poids exacts

Les poids rééchelonnés de la moyenne mobile , ${\tilde{W}}_j^{\left(t\right)}$, servant au calcul de la tendance-cycle pour toutes les périodes sont résumés au tableau 5.

Tableau 5 – Poids rééchelonnés calculés pour chaque mois selon l'approche couper-et-normaliser

	j=t-6	j=t-5	j=t-4	j=t-3	j=t-2	j=t-1	j=t	j=t+1	j=t+2	j=t+3	j=t+4	j=t+5	j=t+6
t=1	0	0	0	0	0	0	=(0,224) / (0,612)	=(0,188) / (0,612)	=(0,136) / (0,612)	=(0,067) / (0,612)	=(0,031) / (0,612)	=(-0,007) / (0,612)	=(-0,027) / (0,612)
t=2	0	0	0	0	0	=(0,188) / (0,8)	=(0,224) / (0,8)	=(0,188) / (0,8)	=(0,136) / (0,8)	=(0,067) / (0,8)	=(0,031) / (0,8)	=(-0,007) / (0,8)	=(-0,027) / (0,8)
t=3	0	0	0	0	=(0,136) / (0,936)	=(0,188) / (0,936)	=(0,224) / (0,936)	=(0,188) / (0,936)	=(0,136) / (0,936)	=(0,067) / (0,936)	=(0,031) / (0,936)	=(-0,007) / (0,936)	=(-0,027) / (0,936)
t=4	0	0	0	=(0,067) / (1,003)	=(0,136) / (1,003)	=(0,188) / (1,003)	=(0,224) / (1,003)	=(0,188) / (1,003)	=(0,136) / (1,003)	=(0,067) / (1,003)	=(0,031) / (1,003)	=(-0,007) / (1,003)	=(-0,027) / (1,003)
t=5	0	0	=(0,031) / (1,034)	=(0,067) / (1,034)	=(0,136) / (1,034)	=(0,188) / (1,034)	=(0,224) / (1,034)	=(0,188) / (1,034)	=(0,136) / (1,034)	=(0,067) / (1,034)	=(0,031) / (1,034)	=(-0,007) / (1,034)	=(-0,027) / (1,034)
t=6	0	=(-0,007) / (1,027)	=(0,031) / (1,027)	=(0,067) / (1,027)	=(0,136) / (1,027)	=(0,188) / (1,027)	=(0,224) / (1,027)	=(0,188) / (1,027)	=(0,136) / (1,027)	=(0,067) / (1,027)	=(0,031) / (1,027)	=(-0,007) / (1,027)	=(-0,027) / (1,027)
t=7,…,T-6	-0,027	-0,007	0,031	0,067	0,136	0,188	0,224	0,188	0,136	0,067	0,031	-0,007	-0,027
t=T-5	=(-0,027) / (1,027)	=(-0,007) / (1,027)	=(0,031) / (1,027)	=(0,067) / (1,027)	=(0,136) / (1,027)	=(0,188) / (1,027)	=(0,224) / (1,027)	=(0,188) / (1,027)	=(0,136) / (1,027)	=(0,067) / (1,027)	=(0,031) / (1,027)	=(-0,007) / (1,027)	0
t=T-4	=(-0,027) / (1,034)	=(-0,007) / (1,034)	=(0,031) / (1,034)	=(0,067) / (1,034)	=(0,136) / (1,034)	=(0,188) / (1,034)	=(0,224) / (1,034)	=(0,188) / (1,034)	=(0,136) / (1,034)	=(0,067) / (1,034)	=(0,031) / (1,034)	0	0
t=T-3	=(-0,027) / (1,003)	=(-0,007) / (1,003)	=(0,031) / (1,003)	=(0,067) / (1,003)	=(0,136) / (1,003)	=(0,188) / (1,003)	=(0,224) / (1,003)	=(0,188) / (1,003)	=(0,136) / (1,003)	=(0,067) / (1,003)	0	0	0
t=T-2	=(-0,027) / (0,936)	=(-0,007) / (0,936)	=(0,031) / (0,936)	=(0,067) / (0,936)	=(0,136) / (0,936)	=(0,188) / (0,936)	=(0,224) / (0,936)	=(0,188) / (0,936)	=(0,136) / (0,936)	0	0	0	0
t=T-1	=(-0,027) / (0,8)	=(-0,007) / (0,8)	=(0,031) / (0,8)	=(0,067) / (0,8)	=(0,136) / (0,8)	=(0,188) / (0,8)	=(0,224) / (0,8)	=(0,188) / (0,8)	0	0	0	0	0
t=T	=(-0,027) / (0,612)	=(-0,007) / (0,612)	=(0,031) / (0,612)	=(0,067) / (0,612)	=(0,136) / (0,612)	=(0,188) / (0,612)	=(0,224) / (0,612)	0	0	0	0	0	0

Références

Dagum, E. B. and Luati, A. 2009. “A Cascade Linear Filter to Reduce Revisions and False Turning Points for Real Time Trend-Cycle Estimation.” Econometric Reviews. 28:1-3, 40-59.